Horst Steibl, TU Braunschweig


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Nur wenn Sie das Programm"Dynageo Euklid 2.4.c" besitzen (und mit Internet Explorer arbeiten; funktioniert nicht mit Netscape), können Sie die beweglichen Figuren unten sehen und bewegen. Dazu müssen Sie jedoch den DynaGeoX-Viewer installieren. Anleitung dazu finden Sie auf der Seite http://www.dynageo.de. Hier können Sie auch eine Shareware-Version von Dynageo Euklid 2.4.c laden und 8 Wochen lang ausprobieren.

  Bevor Sie sich die folgenden Seiten ansehen , sollten Sie erst einmal

Ostwald im Würfel

erkunden

Schnitte durch den Würfel


    Inhalt.....Klicken SIe hier

  1. Schnitte in Projektionsrichtung

  2. Vom Dreieck zum Sechseck

  3. Drei nichtkollineare Punkte legen eine Schnittebene fest

  4. 3 Punkte auf zwei benachbarten Kanten und einer Gegenkante

  5. Zwei weitere Fälle der drei gegebenen Punkte

  6. Drei Punkte auf maximal entfernten Kanten

  7. Schnitte durch den Mittelpunkt: Vierecke

  8. Schnitte durch den Mittelpunkt: Sechsecke

  9. Wahre Größe eines Schnittes


Eine Schnittebene parallel zur Projektionsrichtung

Zeichnen wir im Schrägbild eines Würfels eine Gerade, so können wir sie als Ebene deuten, die in der Richtung der Projektionsstrahlen eben nur als Gerade erscheint. Drehen wir den Würfel um 90°, so wir die Ebene sichtbar. Die Schnittpunkte der Geraden brauchen wir nur maßstabsgetreu auf die (gedrehten) Kanten abzutragen. Dabei bleiben die senkrechten Strecken längentreu, die Längen der Kanten auf den waagerechten Flächen werden halbiert bzw. verdoppelt
Ziehen Sie am Zugpunkt und am Punkz S1.

Wann haben Sie ein Rechteck, wann ein Parallelogramm, wann eine Trapez? Begründen Sie Ihre Thesen.



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Vom Dreieck zum Sechseck


Oben haben wir nur 5 Punkte auf dem Würfel durch die Schnittebene in Richtung der Projektionsstrahlen erzeugen können. Hier können Sie 6 Punkte treffen. Überprüfen Sie: Schnittlinien auf Gegenflächen müssen parallel sein!

Erzeugen Sie durch Zug Rechtecke, Parallelogramme, Trapeze.
Wann ist das Sechseck regelmäßig?

Zeichnen Sie selber einen solchen Schnitt so, dass S1 auf der Kante unten vorn liegt.
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Drei nichtkollineare Punkte legen eine Schnittebene fest


Legen Sie drei Punkte auf verschiedenen Würfelkanten fest, so ist dadurch eine Schnittebene definiert. Die Punkte können verschieden verteilt sein. Hier liegen sie auf einem "windschiefen" Kantenzug, das soll hier heißen: keine zwei Kanten laufen parallel

Zur Konstruktion müssen Sie lediglich wissen:
Schnittlinien auf parallelen Flächen laufen parallel.

Verbinden Sie die drei benachbarten Punkte A, B, C und zeichnen Sie durch C eine zur Würfelfläche parallele Hilfsebene. Auf dieser können Sie die Paralle zur ersten Linie AB ziehen. Diese schneidet die vordere Fläche im Hilfspunkt H. Durch H ziehen Sie die Parallel zur zweiten Schnittlinie BC.

Beim Ziehen an den Punkten A B C müssen Sie darauf achten, dass diese nicht auf die Eckpunkte des Würfels kommen. Versuchen Sie aber ganz dicht heranzukommen und folgende Flächen zu erzeugen:

Würfelfläche, diagonale Schnittfläche, gleichschenkliges Trapez, achsensymmetrisches Fünfeck, regelmäßiges Sechseck, eine zweite diagonale Schnittfläche

Warum können Sie kein Dreieck erzeugen? Oder: Warum ist das Dreieck kein Dreieck?

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3 Punkte auf zwei benachbarten Kanten und einer Gegenkante

Hier zeichnen wir zunächst das durch die drei Punkte A B C bestimmte Dreieck und eine Hilfsebene paralle zur oberen Strecke durch den Teilungspunkt T der Kante E1, E2. Die Dreieckseiten durchstoßen diese Hilfsebene in zwei Punkten H und Q. Diese bestimmten wir durch folgende Berechnung :

AC*(E1T/TE2) bzw BC*(E1T/TE2) und tragen diese Länge von C aus ab (Strecken Messen,Kreis mit bestimmten Radius).
Die Schnittpunkte der Geraden HQ mit dem Hilfsquadrat ermöglichen die weitere Zeichnung.

Hier ist das Dreieck wirklich ein Dreieck. Die Konstruktion ist etwas aufwendiger, Daher flimmert die Figur beim Ziehen und verschwindet an bestimmten Stellen eventuell.

Versuchen Sie wieder, möglichst viele Sonderformen zu erzeugen.

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Zwei weitere Fälle der drei gegebenen Punkte

Hier noch zwei weiteree Fälle der Verteilung der drei Punkte: einmal liegen die drei Punkte auf drei Kanten gleicher Richtung, Beim letzten Fall liegen sie auf zwei Nachbarkanten und der Gegenkante der Verbindungsstrecke.Bei bestimmten Situationen müssen Sie an T ziehen.

Es fehlt der Fall:
Die drei Punkte liegen auf nicht benachbarten Kanten.
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Drei Punkte auf maximal entfernten Kanten


Hier liegen die drei Punkte so, dass man zunächst keine Schnittlinie auf dem Würfel zeichnen kann.
Wir zeichnen wieder eine Hilfsquadrat und bestimmen die zwei Durchstoßungspunkte des Dreiecks ABC, die Punkte P und Q. Den jeweiligen Bruchteil bestimmen wie einmal über die ganze linke Würfelkante, zum anderen über den unteren Teil der Kante rechts vorn.
Beim Ziehen müssen Sie eventuell wieder das Quadrat mit ziehen.





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Schnitte durch den Mittelpunkt: Vierecke


Wählen wir den Mittelpunkt des Würfels als dritten Punkt zur Festlegung der Schnittebene. so ist die Schnittfigur punktsymmetrisch. Liegen die 2 anderen Punkte auf Gegenkanten einer Würfelfläche, so erhalten wir Vierecke. Welche Vierecksarten können Sie erzeugen, welche nicht? Begründen Sie Ihre Thesen!
Was geschieht, wenn Sie die zwei Punkte auf Nachbarkanten legen. Zeichne Sie einmal eine Skizze, bevor Sie weiter klicken.


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Schnitte durch den Mittelpunkt: Sechsecke


Haben Sie richtig geraten? Wenn die zwei Punkte auf Nachbarkanten liegen, bekommen Sie immer Sechsecke. Im Grenzfall Würfelecke erhalten Sie eine diagonale Schnittfläche, also ein Rechteck.

Leider müssen Sie diese Aussagen z.Teil einfach glauben. Sie sehen nicht, ob es ein Rechteck, eine Raute, ein Parallelogramm ist, Wenn wir die wahre Gestalt einer Schnittfigur sehen wollen, müssen wir anders vorgehen.

Erzeugen Sie "Fast -Vierecke"! Welche sind dies?

Vielleicht gucken Sie sich ( nach dem nächsten Klick) auch diese Seiten noch an:

Hannover: Ostwald im Würfel



Im nächsten Bild zeige ich, wie Sie die wahre Größe eines Würfelschnittes darstellen können. Die Konstruktion ist etwas aufwendig aber im Prinzip ganz einfach. Wir zeichnen Auf- und Grundriss des Würfels und die drei gegebenen Punkte. Nun drehen wir den Würfel im Aufriss und im Grundriss so, dass die Schnittebene als Gerade lotrecht auf die Waagerechte erscheint. Dann ist der Seitenriss das wahre Bild der Schnittebene.
Ziehen Sie an den Punkten A, B oderC!


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Wahre Größe eines Schnittes


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